Comprendre un peu de statistique utile pour 40K

Suite à la question d'Obone dans ce sujet, il me parait utile de faire un tout petit détour par les stats de base pour calculer rapidement vos chances de succes dans certaines situations.

1. Calculer une probabilité de succés

Première étape indispensable pour la suite, savoir calculer la probabilité de réussir une action, le plus souvent d'infliger une blessure par exemple.

La plupart des jets se faisant avec 1D6 (on fera une parenthèse pour les jets de commandement avec 2D6 plus tard), la probabilité de réussite d'une action élémentaire (toucher, blesser, sauvegarder) est assez facile à calculer:
Si vous toucher à 3+, vous avez 4/6 de chances de réussir.
En effet, sur les 6 résultats possibles du dé, 4 sont des réussites (3, 4, 5, 6) et 2 des echecs (1, 2).
Les probabilités de réussites sont donc:
jet à 2+: 5/6
jet à 3+: 4/6
jet à 4+: 3/6
jet à 5+: 2/6
jet à 6+: 1/6

Voila pour la brique élémentaire.
Pour ce qui est ensuite de la probabilité de faire une blessure, il faut la combinaison de plusieurs évenements:
- toucher la cible
- la blesser
- passer l'armure
- eventuellement passer le Feel No Pain

Les probas nous disent que la probabilité d'avoir plusieurs évenements indépendants réalisés en même temps est le produit des proba individuelles.
Autrement dit, la probabilité de toucher puis blesser est égale au produit de la proba de toucher par la proba de blesser.
Je passe la démonstration, elle est facile à trouver sur le net pour ceux que ca interesse.

Donc la probabilité de tuer une fig, c'est
proba de la toucher x proba de la blesser x proba de passer l'armure

Notons que pour l'armure, ce qui nous interesse, c'est la probabilité qu'elle soit ratée par l'adversaire.
Les 2 evenements "réussir le jet d'armure" ou "le rater" étant "opposés" (mauvais terme, mais plus compréhensible que de dire qu'ils constituent une partition de l'univers...), la proba de rater l'armure est égale à 1-la proba de la réussir.
Autrement dit, voici la proba de passer une armure à:
6+: 5/6
5+: 4/6
4+: 3/6
3+: 2/6
2+: 1/6

Si l'armure est annulée (arme energétique, PA suffisante), la proba de passer l'armure est de 100%, soit 1.

Voila, c'est long, mais assez simple.
Illustrons par un cas simple? Quelle est la probabilité qu'une attaque de bolter faite par un marine tue un autre marine?
Il touche à 3+
il blesse à 4+
le marine à une save à 3+

La probabilité de le tuer est donc:
proba de toucher x proba de blesser x proba de passer l'armure
= 4/6 x 3/6 x 2/6= 24/216=1/9
Une chance sur 9, soit 11,1% de probabilité de le tuer

Une fois qu'on a bien ca en tête, le plus dur est fait!

Comment gerer les relances?
Petite complexité, comment gerer les relances?
Quelle est la proba de réussir un jet à 3+ avec relance?
La méthode la plus intuitive est de dire que c'est 1-la proba de rater 2 fois.
En effet, soit vous ratez vos 2 jets, soit au moins l'un des deux est réussi, et vous avez donc touché.
La proba de rater 2 fois, c'est le produit de la chance de rater par lui-même.
Donc si vous toucher à 3+, vous avez 4/6 chances de toucher et 2/6=1/3 chances de rater
la proba de toucher avec relance est donc (1-1/3 x 1/3)=(1-1/9)=8/9
Vous avez 8/9 chances de réussir un 3+ avec relance.
Pour aller plus vite, il suffit de retenir que 4+ avec relance c'est 3/4 de réussite, et 3+ avec relance 8/9. C'est les 2 cas les plus fréquents.

Illustrons: quelle est la probabilité qu'une attaque d'un membre de la compagnie de la mort avec chapelain chargeant un pauvre garde impérial le tue?
chance de toucher: 3+ relancable: 8/9
chance de blesser: 2+ relancable = 1-1/6x1/6=35/36
chance de passer l'armure: 4/6

Proba de le tuer avec une attaque? 8/9 x 35/36 x 2/3= 560/972= 58% de chances

Voila, première étape franchie, maintenant la question est: oui, mais j'ai pas qu'une seule attaque, donc je fais quoi?

2. Calculer l'espérance d'une série d'attaques

On est bien content de savoir la proba de tuer avec une attaque, mais on veut plutot savoir quand on charge avec 10 marines combien de morts on va faire.

Pour ca, on a ce qu'on appelle l'espérance, qui correspond à la moyenne des pertes.

Les mathématiciens qui nous ont précédés nous ont rendu la vie simple:
en effet, l'espérance est égale à la probabilité de succés d'une attaque fois le nombre d'attaques.
Facile non?

Illustrons ca par un exemple concret.
Une escouade de 10 marines d'assaut avec 2 fuseurs et un gantelet fait une charge avec charge féroce sur des marines. Combien de morts esperer?

Nous avons d'abord les attaques "de base" à force 5.
Proba de tuer d'une attaque:
3/6 x 4/6 x 2/6=4/27=1/9

Combien d'attaques? 3 pour les 7 mecs de base, 2 pour les 2 porteurs de fuseurs: 25 attaques
25*1/9=25/9=2,8 morts

Le gantelet: proba d'une attaque: 3/6*5/6*1=5/12
3 attaques: 3*5/12=1,25 morts

Donc 2,8 morts à init 5, et 1,25 de mieux à init 1.
En moyenne, 4 morts.

Et voila!

Normalement à ce stade vous me dites "t'es gentil mon coco, mais j'ai pas une calculatrice sous la main quand je joue".

Calcul mental

Prenons un joueur ork, par exemple O.one.
Il me tire dessus avec ses 15 pillards, et obtient 2 tirs par figs. Il prend donc ses 30 dés (de force 7!) et a les yeux qui brillent.
Vous pouvez lui balancer sans pitié "fais toi plaisir, ca va tuer 1 ou 2 mecs".
Et la, au dela du plaisir de lui enlever tout espoir, vous voyez des grands yeux ronds.
Comment faire ce calcul rapidement?
Faites par étape le calcul expliqué précédement.

30 tirs, qui touchent à 5+: 30 x 1/3 =10 touches
10 touches qui blessent à 2+: 10*5/6 beurk, pas beau comme calcul... Si c'etait 12 touches, il raterait 2 blessures. Comme c'est 10, il va en rater un peu moins de 2. Quelque part entre 8 et 9 blessures donc.
8-9 blessures avec une save à 3+: 8-9 x1/3 => un peu moins de 3 morts
3 morts avec FNP à 4+: 3x1/2 = 1,5
Un peu moins de 1,5 morts donc.
Ca a pris 4 opérations simples de calcul.

Le vrai chiffre est de 600/1296=1,38
Ca c'est incalculable de tete. Un peu moins de 1,5, c'est pas tres loin du compte et ca se fait très vite avec un peu d'habitude.

3. Ce que ne donnent pas ces calculs

Vous n'avez que la moyenne de morts. Mais ce n'est pas parce que je charge avec mon escouade que je vais faire 4,2 morts. Je peux en faire 15, je peux en faire zéro (grr, mauvais souvenirs!).
Il existe des méthodes pour connaitre la répartition plus précise de ce que vous pouvez faire (c'est à dire telle chance de faire 0 mort, telle chance de faire 1 mort, etc etc). Ca se fait avec la loi binomiale, ca se fait bien sous excel, mais pas à la table, et donc on sort du sujet.

Autre cas que vous pouvez rencontrer et à ne pas confondre:
vous ne voulez pas savoir l'espérance d'une attaque, mais par exemple vous voulez savoir la chance d'enlever le dernier PV du gros patron en face en le chargeant à 10.
Il ne faut surtout pas appliquer le calcul d'éspérance. L'espérance donne le nombre moyen de blessures, pas la proba d'en faire au moins une.
Prenons un exemple bete, vous avez 20 attaques, et chacune a 10% de chance de faire une blessure. En moyenne, vous ferez 2 blessures. Vous n'avez pas 200% de chance de faire la dernière blessure.

Pour cela, il faut reprendre la méthode de calcul de la relance. La proba d'enlever le dernier PV, c'est 100% moins la chance de tout foirer.
La proba de foirer, c'est 100% moins la chance de réussir (donc 90% dans le cas qui nous interesse)
Autrement dit, la chance de louper les 20 attaques, c'est 90% x 90% x 90%... 20 fois.
soit 0,9^20= 0.122= 12,2%
Vous avez 12,2% de chance de ne rien faire, et donc 87,8% de chance de lui enlever ce satané dernier PV (ou plus, mais au moins 1).

Voila, avec ca vous avez de quoi largement calculer ce qui est utile à une table. En espérant que ce soit vaguement lisible.

N'hesitez pas s'il y a des questions/ commentaires/corrections.